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數學課堂中“懂而不會”現象的再透析

論文作者:本站    論文來源:本站整理    論文欄目:數學論文    收藏本頁
  《中學數學教學參考》2012年第10期刊登的《數學學習中的“懂而不會”現象》一文對學生學習過程中“懂而不會”現象進行了分析,同時也提出了解決的策略。本文從課堂學習中學生的學習表現出發,進一步探討“懂而不會”現象的緣由及教學中應注重的方面。
    首先我們要明確學習中學生“懂而不會”所指的內容,這里的懂是指什么東西懂了,不會是指哪方面的內容不會。事實上,學生認為的懂,和教師要求的會、懂內涵是不一致的,就像文中所說的學生對懂某個知識大多是表象的,是看懂這樣操作的,或者是可以這樣解答問題的,而不會的是對問題本質的理解,為什么要這樣做,為什么可以這樣做。正因為“懂而不會”中的“懂”摻雜了這樣一種錯誤的個人體驗,于是對知識不會靈活運用就成為必然的表現。學好數學的第一步是弄懂,只有對知識的懂,才能會用知識,才能對學習進一步地深入!岸弊趾谜f,做到卻不易。要對公式與法則的來龍去脈、概念的內涵外延及其“變式”(即等價表達形式)真正理解和掌握,這才叫“懂”。
    一些學生常常反映“我上課時聽得懂,可做作業時就是做不來”,這里有兩個原因,一是聽課時似乎懂了,其實并沒有真懂,學生懂的可能只是知識性的記憶或者是對這個問題可以這樣解,而不會思考為什么要這樣解;二是從“懂”到“會”有一段路要走,要經歷套用、變用和活用三個階段。套用,指直接套用公式和法則,變用指在使用公式法則時有所變化;活用是在場景陌生甚至“惡劣”的情況下能執著地、頑強地、靈活地使用公式與法則。只有經歷了這三個階段,這才叫“會”。
    一、“懂而不會”現象的透析
    在數學學習中,學生“一看就會,一聽就懂,但一做就錯”“當堂會做,也比較熟練,但檢測時又不會了”這些似懂非懂的現象比較普遍,常見表現如下:
    1.懂思路,不會語言表達
    在數學學習中相當一部分學生在課堂上能明白、看懂解題的過程,但真的讓學生自己獨立操作時,往往思緒很亂,不知所云。例如,在立體幾何的學習中,學生知道證明點線面的關系需要轉化,但具體轉化哪個量,如何表述卻困難重重。同樣,對于教材上呈現的例題,絕大多數學生能看懂過程,但為什么這個步驟必須寫那個步驟又需要說明很難理解。數學之所以難以自學,一個重要的原因是:撰寫數學教材的人因追求“精煉”,而省卻諸多細節或代以抽象的字母。于是,不懂者恒不懂,須由恒懂的懂者(教師)去指點或講授才能讓學生真正明白解題的要義是什么。只有講清楚了,弄明白了,學生自己真正操作時才會有條理,才會知其所以然。
    2.懂方法,不會抓本質學習
    3.懂知識塊,不會綜合運用
    在與學生的交流中,“懂而不會”更多地表現在對綜合問題的處理。面對一個稍微復雜的問題學生不會尋找突破口,不會利用以往的解題經驗去發現或試圖轉化為已學知識去解決。但如果將問題分解成幾個小問題或幾個知識塊讓學生逐個去解決往往能得到相應的結果。為什么綜合起來或者換一種形式出現,學生對問題解決就摸不著頭腦了,主要的思維節點在于缺乏變通的思想,不會將原問題化歸為原有知識(或者已解決的問題),不具備綜合運用能力及探尋解題策略的能力。這方面的“懂且會”更需要時間的磨煉,更需要教師在授課中關注方法的介紹,特別是如何去分析問題,如何將綜合問題化解為幾個熟知的知識塊進而各個擊破達到學生“會用數學”的目的。
    “懂而不會”現象的出現,一方面是學生只是滿足于數學知識的表象學習,沒有真正理解其要義和內涵,不會變通學習;另一方面也與教師課堂教學理念有關。有些教師為了趕教學進度,在學生對新知識的半知半解中提前進入大容量、高難度的演練,一些教師對教材的照本宣科或忽視概念、公式、定理的推導,一味追求例題、習題的新奇等教學行為,久而久之使學生習慣于知識的簡單學習和機械記憶,面對靈活題目或者稍微有點新意的問題就“望題興嘆”“懂而不會”了。又如,在課堂教學中教師很喜歡對某個問題進行一題多解,似乎這樣才能達到知識的靈活運用和讓學生感受數學的魅力,但事實上學生似乎并不領情,除了對解題者投去更多的崇拜眼神外,留給自己的卻是自卑和對數學的茫然。從心理原則看,教學應站在學生的立場,只有順應學生的心理發展,才能滿足他們的真實感。學生不產生任何真實感的素材,是沒有教育價值的,課堂學習應是在學生體驗下的歸納提升,神來之物的技巧解法,只能讓人機械模仿,而沒有心靈思維碰撞的感悟,只會是似懂非懂。
    二、為理解而教,“既懂又會”學習的突破口
    如何克服“懂而不會”的學習現象,筆者認為在課堂教學中教師要有為學生理解知識而教的思想!镀胀ǜ咧袛祵W課程標準(實驗)》在教學建議中指出:教師應幫助學生理解和掌握數學的基礎知識、基本技能。在評價建議中則指出:評價要注重對數學本質的理解和思想方法的把握,避免片面強調機械記憶、模仿以及復雜技巧。
    數學理解就是指學生在已有數學知識和經驗的基礎上,建立新知識的個人心理表征,并不斷完善和發展頭腦中的數學知識網絡,同時能將納入知識網絡中的新知識靈活地加以提取和應用。數學理解性學習主要涉及三個方面的工作:首先,必須將原始信息改造成適應個人認知結構特點、便于存入和提取的形式,因此建立的概念表象對自己越熟悉、越細致、越準確,就越記得住,也越容易提取;其次,新知識結點與其他結點的連線越多,該結點的入口就越多,經由這些通道進入該結點的機會也就增多;再次,在新舊知識的聯系中,本質性的聯系越多,準確性越強,這些聯系就越緊密和牢固。這樣在解決問題時激活的可能性就越大,回憶就會更方便、更迅速。
    于新華和楊之先生在《數學理解的層次性及其教學意義》一文中將理解分為四個層次:(1)在數學學習中只會背誦定義和定理、模仿做題視為理解的零層次,是“不知其然”,在數學學習中大多表現為對數學茫然的“不懂不會”。(2)能重述定義、定理、公式、法則,知道概念的外延,能讀懂公式的推導和定理的證明過程,解題時能模仿和套用例題的整個解答過程及符號的使用,知識是零散的,有木無林,缺乏系統性。屬知識性層次,通常叫做初步理解。是“知其然”,是一聽就懂,一做就錯的“懂而不會”。(3)對知識能牢固記憶,對概念能分析其內涵、外延,對定理能分析內容結構,能寫出完整的證明,能深入理解已有的證明,對知識能按邏輯順序排成網絡,有木有林。屬能力性層次,通常叫做深刻理解。是“知其所以然”,在學習上表現為既懂又會。(4)了解定理、公式發現的大致過程以及相關的數學思想方法的脈絡;對知識是結構性記憶;有運用合情推理的體驗和演繹推理的基本功,不僅見木見林,而且對數學有整體的認識,對數學的精神、數學美、數學的價值有切身的體會。屬思想性層次,通常叫做透徹理解。是“何由以知其所以然”,在學習上是既懂又會能活用。理解的這四個層次也間接地道出了一個學習上由懂到會的循序漸進的過程,“既懂又會”需要教師更多地關注課堂教學與評價,要立足于為“理解”而教。
    下面的案例相信大家都經歷過,筆者曾經給三個年級的學生布置過同一個問題,但學生對該問題的理解差異很大,于是反映出來的“懂而不會”“既懂又會”也很明顯。
    上面的求解思路是完全可以的,問題未能解答完整的原因在于“懂”消元操作過程,“不會”結合自變量范圍求解,沒有理解方程的解是有要求的,敗在細節(范圍)上。此類情況強調解題多回顧:條件有沒有用齊,問題轉化是否等價,養成良好的解題習慣應該還是可以達成“懂而會”的。
    在學習了基本不等式內容后,題中的條件讓人立刻想到直接利用基本不等式去操作,使用這種方法求解的學生不在少數。錯誤的原因是,學生機械模仿忽視了用基本不等式求最值問題時,兩次運用基本不等式兩個等號必須同時成立,上述解法,只重視了基本不等式的形似而質不符。學習中要明確數學公式的運用是有條件的,理解公式才能真正會用公式,而不是依葫蘆畫瓢式的套用公式。
    上面三種方法的成功在于認準了基本不等式成立的條件,這里的湊、拆的方法其實本質是化為能取到等號條件的基本不等式,同樣的想法(基本不等式的套用)不一樣的操作其效果是不一樣的,關鍵是對本質的理解。
    此法是在學習完直線的方程后,一位頭腦靈活的學生得出的,這種方法也可以認為是上面的代數式的一種幾何解釋。整體思想與數形結合的靈活運用,讓學生感受到數學學習要有變通的、整體的思想,數學思想引領下的透徹理解讓學生在學習上既懂又會,更能活用。
    上面的案例可以看出學生在解決問題時,對同樣的一個問題由于思考角度或者對問題的理解不同,就會做出不同的操作方式。在求解過程中,學生知道或者說“懂”這個知識點,但操作中往往又不能如愿以償地完整解答出來,“懂而不會”的糾結主要還是受對知識結構理解的影響,真正意義上的為知識的理解而教是解決這個“老大難”的妙方。
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